Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9}{t}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $- \frac{9}{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9}{t} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{9}{t}$ por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{9 - 9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} 9 - 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{9 - lim_{t \to 0} 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{9 - 9 lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{9 - 9 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{9 - 9 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Paso 2.1.3.6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{9 - 9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9 - 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9 - 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 9 \sqrt{1 + t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.3

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 9 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.2

Como $- 9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 9 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $- 9 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 + t$ .

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Paso 2.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.12

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.14

Multiplica $\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.15

Mueve ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.16

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{- 9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.4.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.5

Resta $\frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Paso 2.3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 + t$ .

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Paso 2.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.15

Mueve ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.16

Combina $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ y $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.18

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.19

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.21

Multiplica $\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 2.3.23

Multiplica ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.24

Para escribir ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.25

Combina ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27

Multiplica ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.27.1

Mueve ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.5

Divide $2$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.28

Simplifica ${(1 + t)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + (1 + t) \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.29

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot (1 + t)}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30

Simplifica.

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Paso 2.3.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot 1 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.30.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2.2

Suma $t$ y $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 t + 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$

Paso 2.6

Combina factores.

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$ por $\frac{9}{2 \sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + t} \cdot 9}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Paso 2.6.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{18 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Paso 2.7

Reduce.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $2$ de $18 \sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Paso 2.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Paso 2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Paso 2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to 0} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (\sqrt{1 + t})}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1 + t}$ .

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{t \to 0} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) \sqrt{1 + t}}$

Paso 2.7.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{3 t + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{9}{3 t + 2}$

Paso 3.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- 9 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 t + 2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$- 9 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + lim_{t \to 0} 2}$

Paso 3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- 9 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$- 9 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$- 9 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 9 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 5.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$- 9 (\frac{1}{2})$

Paso 5.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 9}{2}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$- 4.5$