Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{1 + 3 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + 3 x}$ como ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.12

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.13

Suma $0$ y $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.15

Combina $\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.16

Mueve $3$ a la izquierda de ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.4.17

Mueve ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.6

Suma $\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{3}$

Paso 1.5

Reescribe ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + 3 x}$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Paso 2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 \cdot 0}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 0}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1}$

Paso 4.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$