Cálculo Ejemplos

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{3 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{3 x}$

Paso 1

Mueve el término

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{x}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{1}{3} \cdot \frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

\frac{1}{3} \cdot \frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término

5

$5$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{sin (5 \cdot 0)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica

5

$5$ por

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{sin (0)}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de

sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por

0

$0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{x} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ y

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

5 x

$5 x$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de

sin (u)

$\sin (u)$ con respecto a

u

$u$ es

cos (u)

$\cos (u)$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

5 x

$5 x$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Como

5

$5$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

5 x

$5 x$ con respecto a

x

$x$ es

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Multiplica

5

$5$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Mueve

5

$5$ a la izquierda de

cos (5 x)

$\cos (5 x)$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{5 \cdot cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{5 cos (5 x)}{1}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{5 cos (5 x)}{1}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

Paso 2.4

Divide

5 cos (5 x)

$5 \cos (5 x)$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} lim x \to 0 5 cos (5 x)

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

\frac{1}{3} lim x \to 0 5 cos (5 x)

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término

5

$5$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 lim x \to 0 cos (5 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

\frac{1}{3} \cdot 5 cos (lim x \to 0 5 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Paso 3.3

Mueve el término

5

$5$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 cos (5 lim x \to 0 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

\frac{1}{3} \cdot 5 cos (5 lim x \to 0 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 cos (5 \cdot 0)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ y

5

$5$ .

\frac{5}{3} cos (5 \cdot 0)

$\frac{5}{3} \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5.2

Multiplica

5

$5$ por

0

$0$ .

\frac{5}{3} cos (0)

$\frac{5}{3} \cos (0)$

Paso 5.3

El valor exacto de

cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

\frac{5}{3} \cdot 1

$\frac{5}{3} \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ por

1

$1$ .

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Forma decimal:

1. ¯ 6

$1.\overline{6}$