Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3^{x} - 4^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

Paso 1.4

Divide $3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Paso 2.2

Mueve el término $\ln (3)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Paso 2.4

Mueve el término $\ln (4)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Paso 4.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Paso 4.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (3) - \ln (4)$

Paso 4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{4})$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{3}{4})$

Forma decimal:

$- 0.28768207 \dots$