Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$ como $e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x^{2}}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\ln (\frac{\sin (x)}{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ y $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplica el teorema de la compresión.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 3.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

Paso 3.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\frac{x}{\sin (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{x}{\sin (x)}$ por $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.10.1

Factoriza $x$ de $\sin (x) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.10.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.10.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.11

Reordena los términos.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{2 x}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Paso 3.5

Combina factores.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x) \cdot 2 x}}$

Paso 3.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x \sin (x) \cdot 2}}$

Paso 3.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x^{1} \sin (x) \cdot 2}}$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1 + 1} \sin (x) \cdot 2}}$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x) \cdot 2}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.6.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.6.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Paso 5.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Paso 5.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (0)}}$

Paso 5.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.3.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 5.1.3.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0}}$

Paso 5.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Paso 5.3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Combina los términos.

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Paso 5.3.5.1.1

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.5.1.2

Suma $x (- \sin (x))$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.5.2

Reordena los factores de $x (- \sin (x))$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 5.3.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}}$

Paso 5.3.9

Reordena los términos.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.2.5.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Paso 6.1.3.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 6.1.3.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 6.1.3.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 6.1.3.8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 6.1.3.8.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 6.1.3.9

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 6.1.3.9.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 6.1.3.9.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 6.1.3.9.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \sin (0)}}$

Paso 6.1.3.9.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 0}}$

Paso 6.1.3.9.1.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

Paso 6.1.3.9.2

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 6.1.3.9.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 6.1.3.10

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.6

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Paso 6.3.9.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.9.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.10.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}}$

Paso 6.3.10.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

Paso 6.3.10.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

Paso 6.3.10.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}}$

Paso 6.3.10.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x))}}$

Paso 6.3.11

Simplifica.

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Paso 6.3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 6.3.11.2

Suma $\cos (x) (2 x)$ y $2 x \cos (x)$ .

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Paso 6.3.11.2.1

Mueve $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 6.3.11.2.2

Suma $2 x \cos (x)$ y $2 x \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 6.3.11.3

Reordena los términos.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.6.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.6.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Paso 7.1.3.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 7.1.3.10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 7.1.3.10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 7.1.3.10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 7.1.3.10.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 7.1.3.10.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 1 + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \sin (0)}}$

Paso 7.1.3.11.1.8

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Paso 7.1.3.11.1.9

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 0}}$

Paso 7.1.3.11.2

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

Paso 7.1.3.11.3

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 7.1.3.11.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 7.1.3.12

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 7.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x \cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Paso 7.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 7.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.5

Simplifica.

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Paso 7.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 7.3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.5.2.3

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.7.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.7.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

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Paso 7.3.8.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.8.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.8.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.8.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Paso 7.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 7.3.9.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Paso 7.3.9.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10

Simplifica.

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Paso 7.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.10.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.3.3

Resta $4 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

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Paso 7.3.10.3.3.1

Mueve $\sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.3.3.2

Resta $4 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Paso 7.3.10.3.4

Suma $4 \cos (x)$ y $2 \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Paso 8.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.11

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.12

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Paso 8.14

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

Paso 8.15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 9.8

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 1}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.1.5

Resta $2$ de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.5

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot 0 + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.7

Multiplica $0$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cos (0)}}$

Paso 10.2.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cdot 1}}$

Paso 10.2.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6}}$

Paso 10.2.10

Suma $0$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 6}}$

Paso 10.2.11

Suma $0$ y $6$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{6}}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{6}}$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{3}}$

Paso 10.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})}$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 10.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{1}{2 \cdot 3}}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{- \frac{1}{6}}$

Paso 10.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

Forma decimal:

$0.84648172 \dots$