Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - 2 x}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.8.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Paso 1.3.8.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Paso 1.3.8.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Paso 1.3.8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Paso 1.3.8.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.8.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Paso 1.3.8.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Paso 1.3.8.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Paso 1.3.8.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 1.3.8.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.9

Resta $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) \sqrt{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$- 2 lim_{x \to 4} - 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$- 2 (- lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Paso 2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 2 (- 8 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Paso 4.2

Suma $- 8$ y $4$ .

$- 2 \cdot - 4 \cdot \sqrt{4}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$8 \cdot \sqrt{4}$

Paso 4.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$8 \cdot 2$

Paso 4.6

Multiplica $8$ por $2$ .

$16$