Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Paso 2.4

Divide $2 \cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Paso 3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \cos (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$