Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.3.4.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Paso 1.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 1.3.7.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Paso 1.3.7.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Paso 1.3.8

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 2.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\cos (0)}$

Paso 5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$