Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2.2

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (2 \sqrt{x})$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \sqrt{x}$

Paso 1.6.2

Combina $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{2 \sqrt{1}}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$