Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} - \frac{2}{t^{2} + t}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{2}{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{2}{t^{2} + t}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{2}{t^{2} + t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{2}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $t (t^{2} + t)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2}{t}$ por $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2}{t^{2} + t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2 t}{(t^{2} + t) t}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(t^{2} + t) t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t)}{t (t^{2} + t)} - \frac{2 t}{t (t^{2} + t)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t) - 2 t}{t (t^{2} + t)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} 2 (t^{2} + t) - 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 2 (t^{2} + t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{2 lim_{t \to 0} t^{2} + t - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2 (lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t) - lim_{t \to 0} 2 t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{2 ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + lim_{t \to 0} t) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.6.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + 0) - 2 lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.6.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{2 (0^{2} + 0) - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 (0 + 0) - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.7.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.7.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t (t^{2} + t)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot (lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Paso 2.1.3.4.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + lim_{t \to 0} t)}$

Paso 2.1.3.4.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + 0)}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Paso 2.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (t^{2} + t) - 2 t}{t (t^{2} + t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t) - 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t) - 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 (t^{2} + t) - 2 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)] + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 (t^{2} + t)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 (t^{2} + t)$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{2} + t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \frac{d}{d t} [t^{2} + t] + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) + \frac{d}{d t} [- 2 t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2 \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t + 1) - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (2 t) + 2 \cdot 1 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 2 \cdot 1 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 2 - 2}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.5.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t + 0}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.5.2.4

Suma $4 t$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{\frac{d}{d t} [t (t^{2} + t)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t^{2} + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t \frac{d}{d t} [t^{2} + t] + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + (t^{2} + t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + (t^{2} + t) \cdot 1}$

Paso 2.3.11

Multiplica $t^{2} + t$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t + 1) + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{t (2 t) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.12.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 (t^{1} t) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{1 + 1} + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{2} + t \cdot 1 + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2.5

Multiplica $t$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{2 t^{2} + t + t^{2} + t}$

Paso 2.3.12.2.6

Suma $2 t^{2}$ y $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{3 t^{2} + t + t}$

Paso 2.3.12.2.7

Suma $t$ y $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 t}{3 t^{2} + 2 t}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{t}{3 t^{2} + 2 t}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$4 \frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + 2 t}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{0}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + 2 t}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{t \to 0} 3 t^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{0}{3 {(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} 2 t}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{0}{3 {(lim_{t \to 0} t)}^{2} + 2 lim_{t \to 0} t}$

Paso 4.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{t \to 0} t}$

Paso 4.1.3.5.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 4.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 4.2

$lim_{t \to 0} \frac{t}{3 t^{2} + 2 t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$4 lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2 t]}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} + 2 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 4.3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Paso 4.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 \cdot 2 t + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 4.3.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 4.3.5

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 4.3.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2 \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 4.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2 \cdot 1}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{1}{6 t + 2}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 6 t + 2}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{t \to 0} 6 t + 2}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{t \to 0} 6 t + lim_{t \to 0} 2}$

Paso 5.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{1}{6 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$4 \frac{1}{6 lim_{t \to 0} t + 2}$

Paso 6

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{1}{6 \cdot 0 + 2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 7.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$2$