Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{x}{\sin (3 x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (3 x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 x)}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} x}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para $x$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Separa las fracciones.

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$

Paso 5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (3 \frac{π}{6})}$ a $\csc (3 \frac{π}{6})$ .

$\frac{\frac{π}{6}}{1} \csc (3 \frac{π}{6})$

Paso 5.3

Divide $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{6})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 (2)})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{π}{6} \csc (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{6} \csc (\frac{π}{2})$

Paso 5.5

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{π}{6} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{6}$

Forma decimal:

$0.52359877 \dots$