Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{π - π}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Suma $\sec^{2} (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 1.3.8

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $4$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Paso 4.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 4.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.4

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 4.5

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$