Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{π - π}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $π - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 1.3.7

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Paso 1.3.9

Resta $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{2}{- 3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Paso 4.4

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 0.57735026 \dots$