Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{h \to 0} h)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \sin (h)$ y $g (h) = 3 h$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [3 h]}$

Paso 1.3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Paso 1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $3 h$ con respecto a $h$ es $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \frac{d}{d h} [h])}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \cdot 1)}$

Paso 1.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \cdot 3}$

Paso 1.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 \cos (3 h)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Paso 2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{h \to 0} h)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ a $\sec (3 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{3} \sec (3 \cdot 0)$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \sec (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$