Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(1 - \cos (h))}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{2}$ y $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (h)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $1$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \cos (h)$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

La derivada de $\cos (h)$ con respecto a $h$ es $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.4

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

Paso 1.4

Divide $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Paso 4.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Paso 4.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$