Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - (5 x^{3})}{h}$

Paso 1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el exponente $3$ de ${(x + h)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $5 x^{3}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Combina los términos opuestos en $5 {(x + 0)}^{3} - 5 x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{5 x^{3} - 5 x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 {(x + h)}^{3} - 5 x^{3}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [5 {(x + h)}^{3}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $5 {(x + h)}^{3}$ con respecto a $h$ es $5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{3}$ y $g (h) = x + h$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.8

Multiplica $3$ por $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 5 x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Como $- 5 x^{3}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Suma $15 {(x + h)}^{2}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{15 {(x + h)}^{2}}{1}$

Paso 2.4

Divide $15 {(x + h)}^{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 15 {(x + h)}^{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$15 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$15 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 {(x + 0)}^{2}$

Paso 5

Suma $x$ y $0$ .

$15 x^{2}$