Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{3}} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{4 + \frac{6}{x}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.1.2

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.9

Simplifica.

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Paso 4.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 5

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 8.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ y $4 + 6 \cdot 0$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $2$ de $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 10.1.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 10.1.3

Factoriza $2$ de $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Paso 10.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 6 \cdot 0}$

Paso 10.1.4.2

Factoriza $2$ de $6 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 2 (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (3 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ y $2 + 3 \cdot 0$ .

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Paso 10.2.1

Reordena los términos.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.2.2

Factoriza $2$ de $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.2.3

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.2.4

Factoriza $2$ de $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 3}$

Paso 10.2.5.2

Factoriza $2$ de $0 \cdot 3$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 3)}$

Paso 10.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Paso 10.2.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Paso 10.2.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 3}$

Paso 10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 10.4.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 10.5

Divide $0$ por $1$ .

$0$