Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $8 h x$ y $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe $4 h^{2}$ como ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Paso 4.1.1.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 h$ y $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 h + 2 x$ y $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $2$ de $2 h + 4 x$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 h + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los términos opuestos en $2 h + 2 x - 2 x$ .

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Paso 4.1.5.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.5.2

Suma $2 h$ y $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Paso 4.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $4 (h + 2 x)$ por $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 h + 4 (2 x)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 h + 8 x$

Paso 4.2.3.2

Reordena $4 h$ y $8 x$ .

$8 x + 4 h$

Paso 5