Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $- \frac{1}{x + h}$ .

$- \frac{1}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h} - (- \frac{1}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- - \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + 1 \frac{1}{x}}{h}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{h}$

Paso 4.1.3

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{- \frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- x + x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\frac{- x + x + h}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6.2

Suma $0$ y $h$ .

$\frac{\frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (x + h)}$

Paso 5