Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x - x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 4 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x + 4 h - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.1.3

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.4.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.4.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.4.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.4.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x + 4 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Paso 2.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x + 4 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $4 x + 4 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$4 x + 4 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $4 x$ .

$4 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 4 x$

Paso 2.2.2

Mueve $4 h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 4 h + 4 x$

Paso 2.2.3

Mueve $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 4 h + 4 x$

Paso 2.2.4

Reordena $- 2 h x$ y $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = 4 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = 4 x - x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x - (4 x - x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x - (4 x) - - x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x - 4 x - - x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x - 4 x + 1 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 4 h + 4 x - 4 x + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 4 h + 4 x - 4 x + 0}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- h^{2} - 2 h x + 4 h + 4 x - 4 x$ y $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 4 h + 4 x - 4 x}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 4 h + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- h^{2} - 2 h x + 4 h$ y $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 4 h}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $h$ de $- h^{2} - 2 h x + 4 h$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h x + 4 h}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $h$ de $- 2 h x$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + 4 h}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $h$ de $4 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.8.4

Factoriza $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.8.5

Factoriza $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 4$ .

$\frac{h (- h - 2 x + 4)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (- h - 2 x + 4)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- h - 2 x + 4$ por $1$ .

$- h - 2 x + 4$

Paso 4.2.2

Reordena $- h$ y $- 2 x$ .

$- 2 x - h + 4$

Paso 5