Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{2}{(x + h) - 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{x + h - 3}$ .

$\frac{2}{x + h - 3}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{x + h - 3} - (\frac{2}{x - 3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{2}{x + h - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{2}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 3) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{2}{x + h - 3}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{2}{x - 3}$ por $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $2$ de $2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3 - (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h - - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 - 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ al numerador.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Paso 5