Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Paso 3

Sea $u = 4 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 4 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 3.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Paso 4

Expande $- (- u + 4) u^{2}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.3

Mueve los paréntesis.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.5

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.6

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.8

Suma $1$ y $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Paso 4.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Paso 7

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$