Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Paso 8

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

Paso 10.2.3

Combina $9$ y $\frac{x^{6}}{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

Paso 10.2.4

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 10.2.4.1

Factoriza $3$ de $9 x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

Paso 10.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

Paso 10.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Paso 10.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$