Cálculo Ejemplos

$\cos (5 x)$

Paso 1

Escribe $\cos (5 x)$ como una función.

$f (x) = \cos (5 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \cos (5 x) d x$

Paso 4

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{5} d u$

Paso 5

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{5} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \cos (u) d u$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{5} (\sin (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{5} \sin (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} \sin (5 x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \cos (5 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin (5 x) + C$