Cálculo Ejemplos

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 5 \cos (t)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $5 \cos (t) = x$ .

$5 \cos (t) = x$

Paso 3

Divide cada término en $5 \cos (t) = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $5 \cos (t) = x$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Paso 5

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Paso 6

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Paso 7

Simplifica $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

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Paso 7.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 7.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (\frac{x}{5})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Paso 7.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Paso 7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Paso 7.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Paso 7.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Paso 7.3.5

Multiplica $\frac{5 + x}{5}$ por $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Paso 7.3.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Paso 7.4

Reescribe $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(5 + x) (5 - x)$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Paso 7.4.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Paso 7.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Paso 7.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Paso 7.6

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.7.1

Cancela el factor común.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Paso 7.7.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$