Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Paso 1.2.4.3

Reordena los factores de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 2.11.2

Multiplica $6$ por $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 2.11.3

Factoriza $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

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Paso 2.11.3.1

Factoriza $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Paso 2.11.4

Suma $6 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.5

Reescribe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.6

Expande $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.7.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.1.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.1.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.7.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.9

Simplifica.

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Paso 2.11.9.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.9.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Paso 2.11.10

Expande $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.11.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.3

Multiplica $8$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.11.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.7

Multiplica $- 16$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.8

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.9

Multiplica $7$ por $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Paso 2.11.11.10

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Paso 2.11.12

Resta $112 x^{4}$ de $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Paso 2.11.13

Suma $16 x^{2}$ y $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 4.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Paso 4.1.2.4.3

Reordena los factores de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.4

Establece ${(x^{2} - 1)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece ${(x^{2} - 1)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.3

Establece ${(x + 1)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Establece ${(x + 1)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.3.2

Resuelve ${(x + 1)}^{3} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.4.2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.4.2.4

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.2.4.1

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 5.4.2.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.4.2.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Paso 9.1.2

Multiplica $56$ por $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 120$ por $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Paso 9.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Paso 9.1.6

Multiplica $72$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Paso 9.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 - 8$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 8$

Paso 9.2.3

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Paso 11.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Paso 11.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (0) = 1$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Paso 13.1.2

Multiplica $56$ por $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Paso 13.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 120$ por $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Paso 13.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Paso 13.1.6

Multiplica $72$ por $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 13.2.1

Resta $120$ de $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Paso 13.2.2

Suma $- 64$ y $72$ .

$8 - 8$

Paso 13.2.3

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la primera derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.2.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Paso 14.2.2.3

Resta $1$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Paso 14.2.2.4

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Paso 14.2.2.5

Multiplica $- 32$ por $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Paso 14.2.2.6

La respuesta final es $- 108000$ .

$- 108000$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 0.5$ , del intervalo $(- 1, 0)$ en la primera derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Multiplica $8$ por $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.3.2.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Paso 14.3.2.3

Resta $1$ de $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Paso 14.3.2.4

Eleva $- 0.75$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Paso 14.3.2.5

Multiplica $- 4$ por $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Paso 14.3.2.6

La respuesta final es $1.6875$ .

$1.6875$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Multiplica $8$ por $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.4.2.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Paso 14.4.2.3

Resta $1$ de $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Paso 14.4.2.4

Eleva $- 0.75$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Paso 14.4.2.5

Multiplica $4$ por $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Paso 14.4.2.6

La respuesta final es $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Paso 14.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.5.2.1

Multiplica $8$ por $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Paso 14.5.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Paso 14.5.2.3

Resta $1$ de $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Paso 14.5.2.4

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Paso 14.5.2.5

Multiplica $32$ por $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Paso 14.5.2.6

La respuesta final es $108000$ .

$108000$

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un mínimo local.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 14.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 14.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 14.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = - 1$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 15