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Cálculo Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Reescribe como .
Paso 1.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Paso 1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.3
Simplifica y combina los términos similares.
Paso 1.3.1
Simplifica cada término.
Paso 1.3.1.1
Multiplica por .
Paso 1.3.1.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.3.1.3
Multiplica por .
Paso 1.3.2
Resta de .
Paso 1.4
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.5
Diferencia.
Paso 1.5.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.5.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.5.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.5.5
Multiplica por .
Paso 1.5.6
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.5.7
Suma y .
Paso 1.5.8
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.5.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.5.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.5.11
Simplifica la expresión.
Paso 1.5.11.1
Suma y .
Paso 1.5.11.2
Multiplica por .
Paso 1.6
Simplifica.
Paso 1.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.6.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.6.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.6.4
Combina los términos.
Paso 1.6.4.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6.4.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.6.4.4
Suma y .
Paso 1.6.4.5
Multiplica por .
Paso 1.6.4.6
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.6.4.7
Multiplica por .
Paso 1.6.4.8
Resta de .
Paso 1.6.4.9
Suma y .
Paso 1.6.4.10
Resta de .
Paso 1.6.4.11
Suma y .
Paso 2
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Multiplica por .
Paso 2.4
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 2.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.2
Suma y .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Paso 4.1.1
Reescribe como .
Paso 4.1.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Paso 4.1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.3
Simplifica y combina los términos similares.
Paso 4.1.3.1
Simplifica cada término.
Paso 4.1.3.1.1
Multiplica por .
Paso 4.1.3.1.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.3.1.3
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2
Resta de .
Paso 4.1.4
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.5
Diferencia.
Paso 4.1.5.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.5.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.5.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.5.5
Multiplica por .
Paso 4.1.5.6
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.5.7
Suma y .
Paso 4.1.5.8
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.5.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.5.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.5.11
Simplifica la expresión.
Paso 4.1.5.11.1
Suma y .
Paso 4.1.5.11.2
Multiplica por .
Paso 4.1.6
Simplifica.
Paso 4.1.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.6.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.6.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.6.4
Combina los términos.
Paso 4.1.6.4.1
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6.4.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.1.6.4.4
Suma y .
Paso 4.1.6.4.5
Multiplica por .
Paso 4.1.6.4.6
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.6.4.7
Multiplica por .
Paso 4.1.6.4.8
Resta de .
Paso 4.1.6.4.9
Suma y .
Paso 4.1.6.4.10
Resta de .
Paso 4.1.6.4.11
Suma y .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza por agrupación.
Paso 5.2.1
Para un polinomio de la forma , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es y cuya suma es .
Paso 5.2.1.1
Factoriza de .
Paso 5.2.1.2
Reescribe como más
Paso 5.2.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 5.2.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
Paso 5.2.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
Paso 5.2.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
Paso 5.2.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
Paso 5.4.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.4.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Paso 5.4.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 5.4.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
Paso 5.4.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.4.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Paso 9.1
Simplifica cada término.
Paso 9.1.1
Cancela el factor común de .
Paso 9.1.1.1
Factoriza de .
Paso 9.1.1.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.1.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.2
Resta de .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Paso 11.2.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 11.2.2
Combina y .
Paso 11.2.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 11.2.4
Simplifica el numerador.
Paso 11.2.4.1
Multiplica por .
Paso 11.2.4.2
Resta de .
Paso 11.2.5
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 11.2.6
Combina y .
Paso 11.2.7
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 11.2.8
Simplifica el numerador.
Paso 11.2.8.1
Multiplica por .
Paso 11.2.8.2
Resta de .
Paso 11.2.9
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 11.2.10
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Paso 11.2.10.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 11.2.10.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 11.2.11
Simplifica la expresión.
Paso 11.2.11.1
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.11.2
Multiplica por .
Paso 11.2.12
Combinar.
Paso 11.2.13
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 11.2.13.1
Multiplica por .
Paso 11.2.13.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.13.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 11.2.13.2
Suma y .
Paso 11.2.14
Multiplica por .
Paso 11.2.15
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.16
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.17
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Paso 13.1
Multiplica por .
Paso 13.2
Resta de .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Paso 15.2.1
Resta de .
Paso 15.2.2
Multiplica por .
Paso 15.2.3
Resta de .
Paso 15.2.4
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 15.2.5
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17