Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.10

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 2.3.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Paso 2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.6

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, x^{2}, 1$

Paso 5.2.2

Como $x, x^{2}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}, x^{2}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 5.2.6

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 5.2.7

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 5.2.8

El MCM de $x^{1}, x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 5.2.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 9.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Paso 9.1.5

Divide $2$ por $1$ .

$- 1 + 2$

Paso 9.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$1$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{1} + \ln (1)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + \ln (1)$

Paso 11.2.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Paso 11.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (1) = 1$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ .

$(1, 1)$ es un mínimo local

Paso 13