Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $1 + x^{4}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.4

Resta $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + 0) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.7

Suma $- 12 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) (4 \cdot ((x^{4} + 1) x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 8 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{4} + 1)}^{2} x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{4} + 1)}^{2}$ como $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 ((x^{4} + 1) (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3

Expande $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} (x^{4} + 1) + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.2

Suma $x^{4}$ y $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + 2 x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 12 (2 x^{4}) - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1.6.1

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{8} x^{3} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{3} x^{8}) - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{3 + 8} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.3

Suma $3$ y $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 (x^{3} x^{4}) - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{3 + 4} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4 + 3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.1.2

Suma $4$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11

Expande $(24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} (x^{7} + x^{3}) - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{7}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 (x^{7} x^{4}) + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{7 + 4} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $7$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{3 + 4} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{7} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.2

Resta $8 x^{7}$ de $24 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.2

Suma $- 12 x^{11}$ y $24 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.3

Suma $- 24 x^{7}$ y $16 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 12 x^{3} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.4

Resta $8 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Factoriza $4 x^{3}$ de $12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1.1

Factoriza $4 x^{3}$ de $12 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.2

Factoriza $4 x^{3}$ de $- 8 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.3

Factoriza $4 x^{3}$ de $- 20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.4

Factoriza $4 x^{3}$ de $4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.5

Factoriza $4 x^{3}$ de $4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 {(x^{4})}^{2} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.3

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.5.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 2.5.4.4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4.1.2

Reescribe $- 2$ como $3$ más $- 5$

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + (3 - 5) u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + 3 u - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.5.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((3 u^{2} + 3 u) - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u (u + 1) - 5 (u + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u + 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((u + 1) (3 u - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $x^{4} + 1$ y ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.5.5.1

Factoriza $x^{4} + 1$ de $4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.5.2.1

Factoriza $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $1 + x^{4}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.4

Resta $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Paso 4.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 3 x^{4} + 1 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{4} = - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- 3 x^{4} = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- 3 x^{4} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.4.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 5.3.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 5.3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 5.3.4.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 5.3.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Paso 5.3.4.4.4

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Paso 5.3.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 5.3.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 5.3.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 5.3.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 5.3.4.4.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 5.3.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Paso 5.3.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Paso 5.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Paso 5.3.4.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 5.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 5.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 5.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Combina $4$ y $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

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Paso 9.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.6.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.7

Divide $27$ por $27$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (1 - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.8

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.9.1

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ como $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9.2

Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{19683}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9.3

Reescribe $19683$ como $9^{4} \cdot 3$ .

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Paso 9.1.9.3.1

Factoriza $6561$ de $19683$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9.3.2

Reescribe $6561$ como $9^{4}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\frac{4 \cdot 9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.9.5

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.11

Cancela el factor común de $36$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.11.1

Factoriza $9$ de $36 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.11.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 (3)} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 \cdot 3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $27$ y $81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.4.1

Factoriza $27$ de $27$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Paso 9.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Paso 9.2.7

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Paso 9.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Paso 9.2.9

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{3^{3}}}$

Paso 9.2.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{27}}$

Paso 9.3

Combina fracciones.

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ y $- 4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 9.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 9.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Paso 9.5.2

Factoriza $16$ de $- 16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Paso 9.5.3

Factoriza $16$ de $64$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Paso 9.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Paso 9.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Paso 9.6

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Paso 9.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Paso 9.6.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Paso 9.7

Combina $\frac{9}{4}$ y $\sqrt[4]{3}$ .

$- \frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Paso 10

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

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Paso 11.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Paso 11.2.2.4

Cancela el factor común de $27$ y $81$ .

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Paso 11.2.2.4.1

Factoriza $27$ de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Paso 11.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.4.2.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Paso 11.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Paso 11.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Paso 11.2.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 11.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Paso 11.2.2.7

Suma $3$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 11.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 11.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 11.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \sqrt[4]{27} (\frac{1}{4})$

Paso 11.2.6

Combina $\sqrt[4]{27}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $\frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.4.1

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ como $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4.2

Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{19683}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4.3

Reescribe $19683$ como $9^{4} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.3.1

Factoriza $6561$ de $19683$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4.3.2

Reescribe $6561$ como $9^{4}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.6

Cancela el factor común de $9$ y $27$ .

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Paso 13.1.6.1

Factoriza $9$ de $9 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 (\sqrt[4]{3})}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.6.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.7.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 13.1.7.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.3

Multiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

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Paso 13.1.7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.1.7.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.7.6.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.7.7

Divide $27$ por $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (1 - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.8

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.9

Combina exponentes.

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Paso 13.1.9.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (4 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.9.2

Combina $4$ y $\frac{\sqrt[4]{3}}{3}$ .

$\frac{- (\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.9.3

Combina $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ y $- 4$ .

$\frac{- \frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.9.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{- \frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 13.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.3

Multiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

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Paso 13.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.6

Cancela el factor común de $27$ y $81$ .

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Paso 13.2.6.1

Factoriza $27$ de $27$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.6.2.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Paso 13.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Paso 13.2.9

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Paso 13.2.10

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Paso 13.2.11

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{3^{3}}}$

Paso 13.2.12

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Paso 13.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 13.5.1

Factoriza $16$ de $16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Paso 13.5.2

Factoriza $16$ de $64$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Paso 13.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Paso 13.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Paso 13.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Paso 13.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Paso 13.6.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Paso 13.7

Combina $\sqrt[4]{3}$ y $\frac{9}{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{3} \cdot 9}{4}$

Paso 13.8

Mueve $9$ a la izquierda de $\sqrt[4]{3}$ .

$\frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Paso 14

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Paso 15.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Paso 15.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Paso 15.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Paso 15.2.2.3

Multiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ como $27$ .

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Paso 15.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 15.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Paso 15.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Paso 15.2.2.6

Cancela el factor común de $27$ y $81$ .

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Paso 15.2.2.6.1

Factoriza $27$ de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Paso 15.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.6.2.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Paso 15.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Paso 15.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Paso 15.2.2.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 15.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Paso 15.2.2.9

Suma $3$ y $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 15.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Paso 15.2.4

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 15.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 15.2.5.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 15.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \sqrt[4]{27} \frac{1}{4}$

Paso 15.2.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt[4]{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $- \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$ .

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ es un máximo local

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ es un mínimo local

Paso 17