Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Reordena $e^{x}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.2.2

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.2.3

Resta $e^{x} \sin (x)$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.2.4

Suma $- e^{x} \cos (x)$ y $\cos (x) e^{x}$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Reordena $\cos (x)$ y $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Paso 2.4.2.4.2

Suma $- e^{x} \cos (x)$ y $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Paso 2.4.2.5

Suma $- 2 e^{x} \sin (x)$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Paso 6

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 6.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 7

Establece $- \sin (x) + \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $- \sin (x) + \cos (x)$ igual a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.2

Separa las fracciones.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 7.2.5.1

Cancela el factor común.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.5.2

Reescribe la expresión.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7.2.6

Separa las fracciones.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 7.2.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 7.2.8

Divide $0$ por $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Paso 7.2.9

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Paso 7.2.10

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 7.2.11

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.11.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.11.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.11.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 7.2.12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 7.2.13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.13.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 7.2.14

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 7.2.15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.15.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.15.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.2.15.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 7.2.16

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Paso 11

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 12.2.2

Combina $e^{\frac{π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 14.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 14.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 14.3.3

Cancela el factor común.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 14.3.4

Reescribe la expresión.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Paso 14.4

Multiplica.

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Paso 14.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Paso 14.4.2

Multiplica $e^{\frac{5 π}{4}}$ por $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Paso 15

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 16.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 16.2.3

Combina $e^{\frac{5 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ es un mínimo local

Paso 18