Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{c^{8} - x^{8}}{c^{8} + x^{8}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ es $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ donde $f (c) = c^{8} - x^{8}$ y $g (c) = c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} - x^{8}] - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $c^{8} - x^{8}$ con respecto a $c$ es $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ es $n c^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- x^{8}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $- x^{8}$ con respecto a $c$ es $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + 0) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $8 c^{7}$ y $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7}) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $8$ a la izquierda de $c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{8 \cdot (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $c^{8} + x^{8}$ con respecto a $c$ es $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}]$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ es $n c^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.7

Como $x^{8}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $x^{8}$ con respecto a $c$ es $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + 0)}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $8 c^{7}$ y $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7})}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(8 c^{8} + 8 x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} + (- 8 c^{8} - 8 (- x^{8})) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Combina los términos opuestos en $8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}$ .

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Paso 3.5.1.1

Resta $8 c^{8} c^{7}$ de $8 c^{8} c^{7}$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 0 - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Suma $8 x^{8} c^{7}$ y $0$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $8 x^{8} c^{7}$ y $8 x^{8} c^{7}$ .

$\frac{16 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$