Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.10

Combina $6$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.12

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- \sin (x))$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \sin (x)$