Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Paso 1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Paso 4.6

Multiplica ${(x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Paso 5.3

Factoriza $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 4 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Paso 5.3.3

Factoriza $4 {(x + 2)}^{2}$ de $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.4

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.5

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.6.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.6.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.8

Simplifica.

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Paso 5.8.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Paso 5.9

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Paso 5.9.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Paso 5.10

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Paso 5.11

Expande $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.2.1

Mueve $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.12.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.7

Multiplica $16$ por $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.8

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.9

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Paso 5.12.10

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Paso 5.13

Resta $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Paso 5.14

Resta $64 x$ de $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$