Cálculo Ejemplos

$h (t) = \sqrt{t} (1 - t^{2})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 - t^{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- (2 t)) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- 2 t) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $t$ .

$t \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Multiplica $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{1} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.5

Suma $2$ y $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 13

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2

Combina los términos.

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Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.2

Combina $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ y $t^{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.3

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4

Multiplica $t^{2}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.2.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.4.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{4 - 1}{2}}}{2}$

Paso 14.2.4.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.5

Para escribir $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.6

Combina $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.8

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.9

Resta $t^{\frac{3}{2}}$ de $- 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$