Cálculo Ejemplos

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y - 1$ y $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $y^{2} - y + 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 2.11

Suma $2 y - 1$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Expande $(- y + 1) (2 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.4

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.5

Multiplica $2 y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.2

Suma $y$ y $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $- y$ y $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 2 y$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Reescribe $- (y - 2)$ como $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$