Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x}$

Paso 4

Combina $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$