Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \tan (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)$

Paso 4.2.5

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.5.1

Reordena $\cos (x)$ y $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)$

Paso 4.2.5.2

Reescribe $\cos (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Paso 4.2.5.3

Cancela los factores comunes.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sin (x)$

Paso 4.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$

Paso 4.3.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sin (x)$

Paso 4.3.4

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sin (x)$