Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Cancela el factor común.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Paso 1.4.2.2

Resta $2$ de $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Paso 2.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Paso 2.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Paso 2.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Paso 2.3

Resta $\frac{2}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Paso 4.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Paso 4.1.4.2.2

Resta $2$ de $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 2 \ln (x) = - 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 2 \ln (x) = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = \frac{5}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Paso 5.6

Reescribe la ecuación como $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = e^{\frac{5}{2}}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $e^{\frac{5}{2}}$ en la expresión.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{5}{2}$ fuera del exponente.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Paso 10.2.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Paso 10.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Paso 10.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Paso 10.2.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Paso 10.2.2

Resta $5 e^{\frac{5}{2}}$ de $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Paso 11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ es un máximo local

Paso 12