Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.23

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.24

Para escribir ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.27

Simplifica ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.29

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ y $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.6

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.17.1

Factoriza $2$ de $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.20

Multiplica $- 2 x^{2} + 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21

Simplifica.

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Paso 2.21.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.21.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.2

Multiplica $- 2 x^{2} + 4$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 4$ .

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Paso 2.21.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.4

Para escribir $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.5

Combina $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ y $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7

Reescribe $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.21.1.7.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ .

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Paso 2.21.1.7.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 (- x^{2} + 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2

Combina exponentes.

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Paso 2.21.1.7.2.1

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.21.1.7.2.1.1

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.2

Simplifica $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.21.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.4

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.5

Suma $- 8$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.2

Combina los términos.

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Paso 2.21.2.1

Reescribe $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.2.2

Multiplica $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Paso 2.21.2.3

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.21.2.3.1

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ .

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Paso 2.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Paso 2.21.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.21.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.21.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.21.2.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.8.3

Mueve ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.14

Combina fracciones.

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.18

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.20.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.20.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.23

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.24

Para escribir ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.26

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.27

Simplifica ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.29

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 4 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 4$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 4$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$x^{2} = 2$

Paso 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 5.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 5.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 5.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{{(- x^{2} + 4)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{- x^{2} + 4} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- x^{2} + 4}}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x^{2} + 4}$ como ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x^{2} + 4)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$- x^{2} + 4 = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 4$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Paso 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 6.3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.3.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 6.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 6.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 6.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{- x^{2} + 4}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + 4 < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 4$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} > 4$

Paso 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

Paso 6.5.4

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{4}$

Paso 6.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.2.1

Simplifica $\sqrt{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.5.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > | 2 |$

Paso 6.5.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | > 2$

Paso 6.5.5

Escribe $| x | > 2$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 6.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 2$

Paso 6.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 6.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 2$

Paso 6.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

Paso 6.5.6

Obtén la intersección de $x > 2$ y $x \geq 0$ .

$x > 2$

Paso 6.5.7

Divide cada término en $- x > 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.7.1

Divide cada término de $- x > 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Paso 6.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

Paso 6.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{2}{- 1}$

Paso 6.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.7.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x < - 2$

Paso 6.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 2$ o $x > 2$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - 2, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (\sqrt{2}) ({(\sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(\sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \cdot - 4}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

$x = \sqrt{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \sqrt{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Paso 11.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 11.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 11.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 11.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 11.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

Paso 11.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 1 \cdot 2)}$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

Paso 11.2.3.2

Resta $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4}$

Paso 11.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2}}$

Paso 11.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\sqrt{2}) = 2$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (1 {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 13.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.5

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} \cdot - 4}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 15.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 15.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 15.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 15.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 15.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 15.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 15.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 15.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

Paso 15.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Paso 15.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

Paso 15.2.5.2

Resta $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 15.2.6

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 15.2.6.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Paso 15.2.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Paso 15.2.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 15.2.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 15.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 15.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 15.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 15.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 15.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

Paso 15.2.7.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 2$

Paso 15.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

Paso 15.2.9

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- {(- 2)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 17.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 17.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 17.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 17.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 17.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{3}}$

Paso 17.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

Paso 17.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

Paso 17.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 18

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 19