Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Paso 2.3

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 + \cos (x) = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 7

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 8

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 9

La solución a la ecuación $x = π$ .

$x = π, π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (π)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \sin (0)$

Paso 11.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 0$

Paso 11.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 12

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 12.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Paso 12.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, π)$ en la primera derivada $1 + \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Paso 12.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Paso 12.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f' (0) = 2$

Paso 12.2.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 12.3

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(π, \infty)$ en la primera derivada $1 + \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Paso 12.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.3.2.1

Evalúa $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Paso 12.3.2.2

Suma $1$ y $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Paso 12.3.2.3

La respuesta final es $1.96017028$ .

$1.96017028$

Paso 12.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = π$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 12.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = x + \sin (x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 13