Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales g(y)=(y-1)/(y^2-y+1)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.1
Suma y .
Paso 1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 1.2.5
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.7
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.9
Multiplica por .
Paso 1.2.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.11
Suma y .
Paso 1.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.3.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.3.2.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.3.2.1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.3.2.1.3
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.3.1.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.3.2.1.3.1.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.3.1.2.1
Mueve .
Paso 1.3.2.1.3.1.2.2
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.1.3
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.1.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.1.3.1.4.1
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.1.4.2
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.1.5
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.1.6
Multiplica por .
Paso 1.3.2.1.3.2
Suma y .
Paso 1.3.2.2
Combina los términos opuestos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.2.2.1
Resta de .
Paso 1.3.2.2.2
Suma y .
Paso 1.3.2.3
Resta de .
Paso 1.3.2.4
Suma y .
Paso 1.3.3
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.3.1
Factoriza de .
Paso 1.3.3.2
Factoriza de .
Paso 1.3.3.3
Factoriza de .
Paso 1.3.4
Factoriza de .
Paso 1.3.5
Reescribe como .
Paso 1.3.6
Factoriza de .
Paso 1.3.7
Reescribe como .
Paso 1.3.8
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 2.3
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.3.2
Multiplica por .
Paso 2.4
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.5
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.5.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.4.1
Suma y .
Paso 2.5.4.2
Multiplica por .
Paso 2.5.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.5.6
Simplifica mediante la adición de términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.6.1
Multiplica por .
Paso 2.5.6.2
Suma y .
Paso 2.6
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.6.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.6.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.6.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.7
Simplifica con la obtención del factor común.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.7.1
Multiplica por .
Paso 2.7.2
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.7.2.1
Factoriza de .
Paso 2.7.2.2
Factoriza de .
Paso 2.7.2.3
Factoriza de .
Paso 2.8
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.8.1
Factoriza de .
Paso 2.8.2
Cancela el factor común.
Paso 2.8.3
Reescribe la expresión.
Paso 2.9
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.10
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.11
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.12
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.13
Multiplica por .
Paso 2.14
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.15
Suma y .
Paso 2.16
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.17
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.17.1
Multiplica por .
Paso 2.17.2
Suma y .
Paso 2.18
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.18.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.1
Expande mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
Paso 2.18.2.1.2
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.2.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.18.2.1.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.2.2.1
Mueve .
Paso 2.18.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.2.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.18.2.1.2.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.18.2.1.2.2.3
Suma y .
Paso 2.18.2.1.2.3
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.18.2.1.2.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.18.2.1.2.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.2.5.1
Mueve .
Paso 2.18.2.1.2.5.2
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.2.6
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.2.7
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.2.8
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.2.9
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.3
Resta de .
Paso 2.18.2.1.4
Suma y .
Paso 2.18.2.1.5
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.5.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.5.1.1
Mueve .
Paso 2.18.2.1.5.1.2
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.6
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.18.2.1.6.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.18.2.1.6.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.18.2.1.7
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.7.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.7.1.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.18.2.1.7.1.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.7.1.2.1
Mueve .
Paso 2.18.2.1.7.1.2.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.7.1.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.18.2.1.7.1.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.18.2.1.7.1.2.3
Suma y .
Paso 2.18.2.1.7.1.3
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.7.1.4
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.7.1.5
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.18.2.1.7.1.6
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.1.7.1.6.1
Mueve .
Paso 2.18.2.1.7.1.6.2
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.7.1.7
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.7.1.8
Multiplica por .
Paso 2.18.2.1.7.2
Suma y .
Paso 2.18.2.2
Combina los términos opuestos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.2.2.1
Resta de .
Paso 2.18.2.2.2
Suma y .
Paso 2.18.2.3
Resta de .
Paso 2.18.2.4
Suma y .
Paso 2.18.3
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.18.3.1
Factoriza de .
Paso 2.18.3.2
Factoriza de .
Paso 2.18.3.3
Factoriza de .
Paso 2.18.3.4
Factoriza de .
Paso 2.18.3.5
Factoriza de .
Paso 2.18.4
Factoriza de .
Paso 2.18.5
Factoriza de .
Paso 2.18.6
Factoriza de .
Paso 2.18.7
Reescribe como .
Paso 2.18.8
Factoriza de .
Paso 2.18.9
Reescribe como .
Paso 2.18.10
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.18.11
Multiplica por .
Paso 2.18.12
Multiplica por .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.4.1
Suma y .
Paso 4.1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 4.1.2.5
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.7
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.9
Multiplica por .
Paso 4.1.2.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.11
Suma y .
Paso 4.1.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.3.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.1
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.3.2.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.3.2.1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.3.2.1.3
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.3.1.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 4.1.3.2.1.3.1.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.3.1.2.1
Mueve .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.2.2
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.3
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.1.3.1.4.1
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.4.2
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.5
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.1.6
Multiplica por .
Paso 4.1.3.2.1.3.2
Suma y .
Paso 4.1.3.2.2
Combina los términos opuestos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.2.2.1
Resta de .
Paso 4.1.3.2.2.2
Suma y .
Paso 4.1.3.2.3
Resta de .
Paso 4.1.3.2.4
Suma y .
Paso 4.1.3.3
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.3.1
Factoriza de .
Paso 4.1.3.3.2
Factoriza de .
Paso 4.1.3.3.3
Factoriza de .
Paso 4.1.3.4
Factoriza de .
Paso 4.1.3.5
Reescribe como .
Paso 4.1.3.6
Factoriza de .
Paso 4.1.3.7
Reescribe como .
Paso 4.1.3.8
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 5.3
Resuelve la ecuación en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.3.2
Establece igual a .
Paso 5.3.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.3.1
Establece igual a .
Paso 5.3.3.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.3
Multiplica por .
Paso 9.1.4
Suma y .
Paso 9.1.5
Suma y .
Paso 9.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.2.2
Multiplica por .
Paso 9.2.3
Suma y .
Paso 9.2.4
Suma y .
Paso 9.2.5
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.1
Multiplica por .
Paso 9.3.2
Divide por .
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Resta de .
Paso 11.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.2.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.2.2
Multiplica por .
Paso 11.2.2.3
Suma y .
Paso 11.2.2.4
Suma y .
Paso 11.2.3
Divide por .
Paso 11.2.4
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.3
Multiplica por .
Paso 13.1.4
Resta de .
Paso 13.1.5
Suma y .
Paso 13.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.2.2
Multiplica por .
Paso 13.2.3
Resta de .
Paso 13.2.4
Suma y .
Paso 13.2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 13.3
Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.3.1
Multiplica por .
Paso 13.3.2
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.3.2.1
Factoriza de .
Paso 13.3.2.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.3.2.2.1
Factoriza de .
Paso 13.3.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.3.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.3.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 14
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Resta de .
Paso 15.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.2.2
Multiplica por .
Paso 15.2.2.3
Resta de .
Paso 15.2.2.4
Suma y .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un máximo local
Paso 17