Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales sin(x)
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
La derivada de con respecto a es .
Paso 3
La derivada de con respecto a es .
Paso 4
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 5
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior del coseno.
Paso 6
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.1
El valor exacto de es .
Paso 7
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
Paso 8
Simplifica .
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Paso 8.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 8.2
Combina fracciones.
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Paso 8.2.1
Combina y .
Paso 8.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 8.3
Simplifica el numerador.
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Paso 8.3.1
Multiplica por .
Paso 8.3.2
Resta de .
Paso 9
La solución a la ecuación .
Paso 10
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 11
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 11.1
El valor exacto de es .
Paso 11.2
Multiplica por .
Paso 12
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 13
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 13.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 13.2
Simplifica el resultado.
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Paso 13.2.1
El valor exacto de es .
Paso 13.2.2
La respuesta final es .
Paso 14
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 15
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 15.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 15.2
El valor exacto de es .
Paso 15.3
Multiplica .
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Paso 15.3.1
Multiplica por .
Paso 15.3.2
Multiplica por .
Paso 16
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 17
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 17.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 17.2
Simplifica el resultado.
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Paso 17.2.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 17.2.2
El valor exacto de es .
Paso 17.2.3
Multiplica por .
Paso 17.2.4
La respuesta final es .
Paso 18
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 19