Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 x^{2} - 10 x - 8$ y $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 10 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $6 x - 10$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} (5)$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 10 x - 8$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 10 x - 8$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Paso 6.2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Paso 6.2.1.2

Reescribe $- 10$ como $2$ más $- 12$

$3 x^{2} + (2 - 12) x - 8 = 0$

Paso 6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8 = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 12 x - 8 = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 4 (3 x + 2) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 4) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 6.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{2}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (- \frac{2}{3}) - 10$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$6 (\frac{- 2}{3}) - 10$

Paso 10.1.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} - 10$

Paso 10.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} - 10$

Paso 10.1.1.4

Reescribe la expresión.

$2 \cdot - 2 - 10$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 - 10$

Paso 10.2

Resta $10$ de $- 4$ .

$- 14$

Paso 11

$x = - \frac{2}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{2}{3}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{2}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.7

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{4}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (\frac{4}{9}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.10

Multiplica $- 5 (\frac{4}{9})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.10.1

Combina $- 5$ y $\frac{4}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 5 \cdot 4}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.10.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.12

Multiplica $- 8 (- \frac{2}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + 8 (\frac{2}{3}) + 5$

Paso 12.2.1.12.2

Combina $8$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{8 \cdot 2}{3} + 5$

Paso 12.2.1.12.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{16}{3} + 5$

Paso 12.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Multiplica $\frac{20}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - (\frac{20}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16}{3} + 5$

Paso 12.2.2.2

Multiplica $\frac{20}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} + 5$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Paso 12.2.2.4

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Paso 12.2.2.5

Escribe $5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Paso 12.2.2.6

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 12.2.2.7

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 20 \cdot 3 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1

Multiplica $- 20$ por $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $16$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 5 \cdot 27}{27}$

Paso 12.2.4.3

Multiplica $5$ por $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 135}{27}$

Paso 12.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Resta $60$ de $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 68 + 144 + 135}{27}$

Paso 12.2.5.2

Suma $- 68$ y $144$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{76 + 135}{27}$

Paso 12.2.5.3

Suma $76$ y $135$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{211}{27}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $\frac{211}{27}$ .

$y = \frac{211}{27}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (4) - 10$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 - 10$

Paso 14.2

Resta $10$ de $24$ .

$14$

Paso 15

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = 64 - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Paso 16.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 64 - 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 5$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $16$ .

$f (4) = 64 - 80 - 8 \cdot 4 + 5$

Paso 16.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f (4) = 64 - 80 - 32 + 5$

Paso 16.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Resta $80$ de $64$ .

$f (4) = - 16 - 32 + 5$

Paso 16.2.2.2

Resta $32$ de $- 16$ .

$f (4) = - 48 + 5$

Paso 16.2.2.3

Suma $- 48$ y $5$ .

$f (4) = - 43$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 43$ .

$y = - 43$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{211}{27})$ es un máximo local

$(4, - 43)$ es un mínimo local

Paso 18