Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales y=x^4-3x^2
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 3
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.2.3
Multiplica por .
Paso 3.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.3.3
Multiplica por .
Paso 4
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 5
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.1
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.2.3
Multiplica por .
Paso 5.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 6
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 6.2
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1
Factoriza de .
Paso 6.2.2
Factoriza de .
Paso 6.2.3
Factoriza de .
Paso 6.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 6.4
Establece igual a .
Paso 6.5
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.1
Establece igual a .
Paso 6.5.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 6.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 6.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Paso 6.5.2.4
Simplifica .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.4.1
Reescribe como .
Paso 6.5.2.4.2
Multiplica por .
Paso 6.5.2.4.3
Combina y simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.4.3.1
Multiplica por .
Paso 6.5.2.4.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 6.5.2.4.3.3
Eleva a la potencia de .
Paso 6.5.2.4.3.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 6.5.2.4.3.5
Suma y .
Paso 6.5.2.4.3.6
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.4.3.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 6.5.2.4.3.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 6.5.2.4.3.6.3
Combina y .
Paso 6.5.2.4.3.6.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.4.3.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 6.5.2.4.3.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 6.5.2.4.3.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 6.5.2.4.4
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.4.4.1
Combina con la regla del producto para radicales.
Paso 6.5.2.4.4.2
Multiplica por .
Paso 6.5.2.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.2.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 6.5.2.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 6.5.2.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 6.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 7
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 7.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 8
Puntos críticos para evaluar.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 10
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 10.1.2
Multiplica por .
Paso 10.2
Resta de .
Paso 11
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 12
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 12.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 12.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 12.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 12.2.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 12.2.1.3
Multiplica por .
Paso 12.2.2
Suma y .
Paso 12.2.3
La respuesta final es .
Paso 13
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 14
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 14.1.2
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1.2.1
Usa para reescribir como .
Paso 14.1.2.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 14.1.2.3
Combina y .
Paso 14.1.2.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1.2.4.1
Cancela el factor común.
Paso 14.1.2.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 14.1.2.5
Evalúa el exponente.
Paso 14.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 14.1.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1.4.1
Factoriza de .
Paso 14.1.4.2
Cancela el factor común.
Paso 14.1.4.3
Reescribe la expresión.
Paso 14.1.5
Multiplica por .
Paso 14.2
Resta de .
Paso 15
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 16
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 16.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 16.2.1.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.2.1
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.2.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 16.2.1.2.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 16.2.1.2.1.3
Combina y .
Paso 16.2.1.2.1.4
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.2.1.4.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.2.1.4.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.2.1.4.2.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.2.1.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 16.2.1.2.1.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.1.2.1.4.2.4
Divide por .
Paso 16.2.1.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.1.4
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.4.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.4.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.4.2.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 16.2.1.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.1.5
Aplica la regla del producto a .
Paso 16.2.1.6
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 16.2.1.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 16.2.1.6.3
Combina y .
Paso 16.2.1.6.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 16.2.1.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.1.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 16.2.1.7
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.1.8
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.8.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.8.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.8.2.1
Factoriza de .
Paso 16.2.1.8.2.2
Cancela el factor común.
Paso 16.2.1.8.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.1.9
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.9.1
Combina y .
Paso 16.2.1.9.2
Multiplica por .
Paso 16.2.1.10
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 16.2.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 16.2.3
Escribe cada expresión con un denominador común de , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de .
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.3.1
Multiplica por .
Paso 16.2.3.2
Multiplica por .
Paso 16.2.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 16.2.5
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.5.1
Multiplica por .
Paso 16.2.5.2
Resta de .
Paso 16.2.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 16.2.7
La respuesta final es .
Paso 17
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 18
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 18.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 18.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 18.1.3
Multiplica por .
Paso 18.1.4
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 18.1.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 18.1.4.3
Combina y .
Paso 18.1.4.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1.4.4.1
Cancela el factor común.
Paso 18.1.4.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 18.1.4.5
Evalúa el exponente.
Paso 18.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 18.1.6
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 18.1.6.1
Factoriza de .
Paso 18.1.6.2
Cancela el factor común.
Paso 18.1.6.3
Reescribe la expresión.
Paso 18.1.7
Multiplica por .
Paso 18.2
Resta de .
Paso 19
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 20
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 20.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 20.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 20.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.1.3
Multiplica por .
Paso 20.2.1.4
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.4.1
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.4.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 20.2.1.4.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 20.2.1.4.1.3
Combina y .
Paso 20.2.1.4.1.4
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.4.1.4.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.4.1.4.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.4.1.4.2.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.4.1.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 20.2.1.4.1.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.1.4.1.4.2.4
Divide por .
Paso 20.2.1.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.1.6
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.6.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.6.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.6.2.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 20.2.1.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.1.7
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.7.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 20.2.1.7.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 20.2.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.1.9
Multiplica por .
Paso 20.2.1.10
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.10.1
Usa para reescribir como .
Paso 20.2.1.10.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 20.2.1.10.3
Combina y .
Paso 20.2.1.10.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.10.4.1
Cancela el factor común.
Paso 20.2.1.10.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.1.10.5
Evalúa el exponente.
Paso 20.2.1.11
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.1.12
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.12.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.12.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.12.2.1
Factoriza de .
Paso 20.2.1.12.2.2
Cancela el factor común.
Paso 20.2.1.12.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.1.13
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.1.13.1
Combina y .
Paso 20.2.1.13.2
Multiplica por .
Paso 20.2.1.14
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 20.2.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 20.2.3
Escribe cada expresión con un denominador común de , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de .
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.3.1
Multiplica por .
Paso 20.2.3.2
Multiplica por .
Paso 20.2.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 20.2.5
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 20.2.5.1
Multiplica por .
Paso 20.2.5.2
Resta de .
Paso 20.2.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 20.2.7
La respuesta final es .
Paso 21
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 22