Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 6

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 6.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Paso 6.3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 8

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 8.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 9.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 9.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 9.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 9.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 9.2.6

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.4

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 12.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Paso 12.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2$

Paso 12.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Paso 13

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 14.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 14.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Paso 14.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Paso 14.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Paso 14.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Paso 14.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.3

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.5

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 16.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 16.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 16.1.8

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 16.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Paso 16.1.8.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2$

Paso 16.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 17

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 17.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Paso 17.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ en la primera derivada $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 17.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Paso 17.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Paso 17.2.2.1.2

Evalúa $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Paso 17.2.2.1.3

Evalúa $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Paso 17.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Paso 17.2.2.2

Resta $1.30728724$ de $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Paso 17.2.2.3

La respuesta final es $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Paso 17.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ en la primera derivada $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 17.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Paso 17.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Paso 17.3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Paso 17.3.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Paso 17.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Paso 17.3.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f' (0) = 2$

Paso 17.3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 17.4

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 17.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Paso 17.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Paso 17.4.2.1.2

Evalúa $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Paso 17.4.2.1.3

Evalúa $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Paso 17.4.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Paso 17.4.2.2

Resta $1.97998499$ de $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Paso 17.4.2.3

La respuesta final es $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Paso 17.5

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 17.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Paso 17.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Paso 17.5.2.1.2

Evalúa $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Paso 17.5.2.1.3

Evalúa $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Paso 17.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Paso 17.5.2.2

Suma $0.99060735$ y $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Paso 17.5.2.3

La respuesta final es $2.49841186$ .

$2.49841186$

Paso 17.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local.

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 17.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ es un máximo local.

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 17.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 17.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 18