Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $6 x - 4$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Paso 5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Paso 5.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $- 1$ más $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Paso 5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 5.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$2 - 4$

Paso 9.2

Resta $4$ de $2$ .

$- 2$

Paso 10

$x = \frac{1}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1}{3}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.7

Combina $- 2$ y $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Paso 11.2.3.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 11.2.3.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Paso 11.2.3.5

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Paso 11.2.3.6

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Paso 11.2.3.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Paso 11.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

Paso 11.2.5.2

Resta $6$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

Paso 11.2.5.3

Suma $- 5$ y $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (1) - 4$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 - 4$

Paso 13.2

Resta $4$ de $6$ .

$2$

Paso 14

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Paso 15.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Paso 15.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Paso 15.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Paso 15.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 15.2.3.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Paso 15.2.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (1) = 0$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ es un máximo local

$(1, 0)$ es un mínimo local

Paso 17