Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27 x$ con respecto a $x$ es $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $27$ por $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 18 x + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $6 x - 18$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27 x$ con respecto a $x$ es $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $27$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $3$ de $27$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 5.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (3) - 18$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 - 18$

Paso 9.2

Resta $18$ de $18$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 3)$ en la primera derivada $3 x^{2} - 18 x + 27$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Paso 10.2.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Paso 10.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 10.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Paso 10.2.2.2.2

Suma $0$ y $27$ .

$f' (0) = 27$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $27$ .

$27$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3, \infty)$ en la primera derivada $3 x^{2} - 18 x + 27$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Paso 10.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Paso 10.3.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Paso 10.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.3.2.2.1

Resta $108$ de $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Paso 10.3.2.2.2

Suma $0$ y $27$ .

$f' (6) = 27$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $27$ .

$27$

Paso 10.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 3$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11