Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.3

Combina fracciones.

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Paso 1.3.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.3.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reordena los términos.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.6.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.6.2.4

Combina $\ln (x)$ y $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.6.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.5

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.6.2.5

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.8

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 2.2.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.9

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

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Paso 2.2.9.1

Multiplica por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.9.2

Factoriza $x^{4}$ de $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.9.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.10.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.10.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.10.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.11

Combina $- 4$ y $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Paso 2.3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Paso 2.3.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Paso 2.3.6

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.6.1

Mueve $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Paso 2.3.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Paso 2.3.6.3

Resta $10$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 2.4.3.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Paso 2.4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Paso 2.4.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

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Paso 2.4.5.1.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 2.4.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 2.4.5.1.3

Reescribe $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ como $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 2.4.5.2

Suma $5$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 2.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.3

Combina fracciones.

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Paso 4.1.3.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.3.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 4.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Reordena los términos.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.1.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.1.6.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.1.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.1.6.2.4

Combina $\ln (x)$ y $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.1.6.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Paso 5.2

Resta $\frac{1}{x^{5}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $- 4 \ln (x) = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $- 4 \ln (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Paso 5.5

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (x) = \frac{1}{4}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Paso 5.7

Reescribe la ecuación como $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{5} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{1}{4}$ fuera del exponente.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.1.5

Resta $5$ de $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Paso 9.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Paso 9.2.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Paso 9.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = e^{\frac{1}{4}}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $e^{\frac{1}{4}}$ en la expresión.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Paso 11.2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{1}{4}$ fuera del exponente.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Paso 11.2.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 11.2.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 11.2.6

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Paso 11.2.7

Mueve $4$ a la izquierda de $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Paso 11.2.8

La respuesta final es $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ es un máximo local

Paso 13