Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Obtén la primera derivada.

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Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Factoriza $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Step 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 8$

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Step 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Reescribe la expresión.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Evalúa el exponente.

$12 \cdot 2 - 8$

Multiplica $12$ por $2$ .

$24 - 8$

Resta $8$ de $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Divide $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Resta $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica cada término.

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Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Reescribe la expresión.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Evalúa el exponente.

$12 \cdot 2 - 8$

Multiplica $12$ por $2$ .

$24 - 8$

Resta $8$ de $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local

Step 19

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Multiplica ${\sqrt{2}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Resta $8$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(\sqrt{2}, - 4)$ es un mínimo local

$(- \sqrt{2}, - 4)$ es un mínimo local

Step 21