Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.9

Combina $- 36$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.11

Factoriza $3$ de $- 36$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.3.12.2

Cancela el factor común.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 2.2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 2.2.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.2.16

Combina $12$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.17

Multiplica $12$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.18

Factoriza $3$ de $24$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.19.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.2.19.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.9

Combina $- 36$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.11

Factoriza $3$ de $- 36$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Divide $- 12$ por $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Paso 5.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 5.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.5.4.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.4.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 5.5.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 5.5.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm 2^{3}$

Paso 5.5.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm 8$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 5.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 5.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 8, - 8, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Mueve $8^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

Paso 9.2

Multiplica ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ por $8^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

Paso 9.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Paso 9.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 9.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 9.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Paso 9.2.5.2

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{2}}$

Paso 9.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 10

$x = 8$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 8$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Paso 11.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$f (8) = 24 - 72$

Paso 11.2.2

Resta $72$ de $24$ .

$f (8) = - 48$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 48$ .

$y = - 48$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 13.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 13.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

Paso 13.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{8}{- 32}$

Paso 13.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $- 32$ .

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Paso 13.2.1.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 (1)}{- 32}$

Paso 13.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.1.2.1

Factoriza $8$ de $- 32$ .

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Paso 13.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Paso 13.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 4}$

Paso 13.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 14

$x = - 8$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 8$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 8$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 15.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 15.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Paso 15.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 36$ por $- 2$ .

$f (- 8) = - 24 + 72$

Paso 15.2.2

Suma $- 24$ y $72$ .

$f (- 8) = 48$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $48$ .

$y = 48$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 17.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 17.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 17.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{0^{5}}$

Paso 17.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{8}{0}$

Paso 17.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 18

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 18.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 18.2

Sustituye cualquier número, como $- 10$ , del intervalo $(- \infty, - 8)$ en la primera derivada $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2

La respuesta final es $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.3

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- 8, 0)$ en la primera derivada $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.3.2

La respuesta final es $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(0, 8)$ en la primera derivada $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.4.2.2

La respuesta final es $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.5

Sustituye cualquier número, como $10$ , del intervalo $(8, \infty)$ en la primera derivada $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.5.2.2

La respuesta final es $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - 8$ , $x = - 8$ es un máximo local.

$x = - 8$ es un máximo local

Paso 18.7

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 18.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 8$ , $x = 8$ es un mínimo local.

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 18.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 8$ es un máximo local

$x = 8$ es un mínimo local

$x = - 8$ es un máximo local

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 19